BAB I

PENDAHULUAN

  1. A.     Latar Belakang

Distribusi peluang gabungan, distribusi marginal, dan distribusi bersyarat merupakan sub materi dari materi pokok probabilitas yang tidak kalah penting dari sub materi lainnya, selama ini kita tidak memahami apa yang menjadi judul makalah ini, oleh karena itu kita membahas masalah ini untuk mengetahui sejauh mana kita dapat mengerti dan memahaminya untuk menambah wawasan dimasa depan, selain dari pada itu juga merupakan tuntutan dari dosen pengajar sebagai bagian dari metari kuliah statistika matematika.

 

  1. Rumusan Masalah

Dari latar belakang tersebut dapat ditarik beberapa persamalahan diantaranya :

  1. Apa itu distribusi peluang gabungan ?
  2. Apa itu distribusi marginal ?
  3. Apa itu distribusi bersyarat ?
  1. C.     Tujuan penulisan

Makalah ini disusun untuk melengkapi tugas mata kuliah statistika matematika.

  1. D.     Manfaat

Ada banyak manfaat dari makalah ini, diantaranya :

-          Kita dapat mengetahui apa itu distribusi peluang gabungan, distribusi marginal dan distribusi bersyarat.

-          Makalah ini juga bermanfaat sebagai bahan bacaan guna menambah wawasan.

 

 

 

 

 

BAB II

PEMBAHASAN

 

  1. A.  DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN

Fungsi Distribusi Peluang Gabungan untuk dua peubah acak X dan Y adalah:

F(a,b) = P(X≤a,Y≤b)

= ∑ ∑ f(xi,yi), untuk data diskrit

= ∫ ∫ f(x,y) dy dx, untuk data kontinu

Sifat-sifat fungsi distribusi peluang gabungan:

1. F(-∞,-∞) = 0 , F(∞,∞) = 1

2. Fx(a) = P(X≤a) = P(X≤a, Y<∞) = F(a, ∞)

3. P(X>a, Y>b) = 1 – P(X≤a) –P(Y≤b) + P(X≤a,Y≤b)

= 1 – Fx(a) – FY(b) + F(a,b)

 

Fungsi  adalah suatu fungsi padat gabungan peubah acak diskret  dan y bila
1.
2.
3.  untuk tiap derah A dibidang x y
Contoh.1 Dua isi Ballpoint dipilih secara acak dari sebuah kotak yang berisi 3 isi warna biru, 2 warna merah dan 3 warna hijau. Bila x menyatakan isi yang berwarna biru dan y warna merah yang terpilih. Hitunglah :
a.  Fungsi peluang gabungan f (x,y)
b.  P[(x,y) A] bila A daerah { (x,y) x + y  1 }
Jawab Pasangan harga (x,y) yang mungkin adalah (0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(0,2) dan (2,0) sekarang f(0,1) misalnya menyatakan peluang bahwa isi berwarna merah dan hijau yang terpilih. Banyaknya cara yang berkemungkinan sama memilih 2 dari 8 adalah = 28 cara. Banyaknya cara memilih 1 merah dari 2 isi berwarna merah dan 1 hijau dari 3 isi warna hijau adalah = 6.
Jadi f(0,1) = 6/28 = 3/14. Dengan jalan yang sama dihitung peluang untuk kasus lainnya yang disajikan pada table berikut :
a.  Fungsi peluang gabungan f(x,y)

X

Y

0

1

2

0

3/28

9/28

3/28

1

6/28

6/28

-

2

1/28

-

-

Distribusi peluang gabungan tersebut dapat dinyatatakan dengan rumus :
  dimana x = 0,1,2   y = 0,1,2       0  x + y  2
b.
Contoh.2
Fungsi  adalah suatu fungsi padat gabungan peubah acak kontinue  dan y bila:

1.

2.

3.

 untuk tiap derah A dibidang xy
Contoh Pandanglah fungsi padat gabungan berikut :
F (x,y) =    untuk 0 < x < 2 , 0 < y < 1=  0               untuk x lainnya

1.

Periksalah syarat 2 dari rumus diatas
Jawab

2.

Hitung P[(x,y) A] bila A daerah { (x,y)| 0 < x < 1, 1/4 < y <1/2 }
Jawab

 

 

  1. B.     DISTRIBUSI MARGINAL

 

Definisi 3.6: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random diskrit dan f(x1, x2) adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang diberikan oleh

g(x1) =

untuk setiap x1 di dalam range dari X1 disebut densitas marginal dari X1.

Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh

h(x2) =

untuk setiap x2 di dalam range dari X2 disebut densitas marginal dari X2.

Definisi 3.7: Jika X1 dan X2 merupakan variabel random kontinu dan f(x1, x2) adalah harga dari distribusi probabilitas bersama di (x1, x2), maka fungsi yang diberikan oleh

g(x1) =  untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

disebut densitas marginal dari X1.

Demikian pula, fungsi yang dtberikan oleh

h(x2) =  untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥

disebut densitas marginal dari X2.

Contoh 3.4: Jika densitas bersama

f(x1, x2) =

maka densitas marginal dari X1 adalah g(x1) = 2/3(x1 + 1), untuk 0 < x1 < 1, dan densitas marginal dari X2 adalah h(x2) = 1/3(1 + 4x2), untuk 0 < x1 < 1.

Seperti halnya pada distribusi univariat, di sini didefinisikan pula fungsi distribusi marginal dan fungsi distribusi marginal bersama berikut.

Definisi 3.8: Jika F(x1, x2) adalah harga dari fungsi distribusi bersa­ma dari variabel random X1 dan X2 di titik (x1, x2), maka fungsi G dengan

G(x1) = P(X1 £ x1, X2 = 1) untuk -¥ < x1 < ¥

disebut fungsi distribusi marginal dari X1. Demikian pula fungsi H dengan

H(x2) = P(X1 = 1, X2 £ x2) untuk -¥ < x2 < ¥

disebut fungsi distribusi Marginal dari X2.

Definisi 3.9: Jika F(x1, x2,x3)merupakan harga dari fungsi distribusi bersama variabel random X1 ,X2, dan X3 di titik (x1, x2,x3),maka fungsi G dengan

G(x1, x2) = P(X1 £ x1, X2 £ x2, X3 = 1), untuk -¥ < x1 < ¥, -¥ < x2 < ¥.

disebut fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X2.

Contoh 3.5: Jika diketahui densitas dari variabel random X1, X2, dan X3 berikut

f(x1, x2, x3) =

maka fungsi distribusi marginal bersama dari X1 dan X3 dengan

F(x1, x2, x3) =

adalah

G(x1, x3)

dan fungsi distribusi marginal dari X1 adalah

H(x1) =

Bila distribusi peluang f(x,y) dengan peubah acak x dan y diketahui maka distribusi peluang x sendirian dan y sendirian adalah :
-  Untuk Diskret :     g(x) =             h(y) =
-  Untuk Kontinue :   g (x) =       h(y) = f (x,y) dx
Untuk distribusi bersyarat peubah acak diskret maupun continue adalah
F (y|x) =  , g(x) > 0              f(x|y) =  ; h(y) > 0P ( a< y < b | X=x) =
Contoh.1 Fungsi padat gabungan peubah acak  dan y diberikan oleh :
F (x,y) = 8 xy       untuk y < x < 1 , 0 < y < x=  0           untuk x lainnya

>

Hitunglah g (x) , h (y), f(y|x) dan P (y < 1/8 | x = ½)

-

Misalkanlah x dan y dua peubah acak, diskret maupun continue dengan fungsi peluang gabungan f (x,y) dan distribusi marginal masing-masing g(x) dan h(y). Peubah acak x dan y dikatakan bebas statistik jika dan hanya jika f(x,y) = g(x) h(y) untuk semua (x,y).

-

Misalkanlah x1, x2  , x3  ,…..xn , n peubah acak diskret maupun continue, dengan distribusi peluang gabungan f (x1  , x2  ….xn) dan distribusi marginal masing-masing f1  (x1 ), f2  (x2), ….fn  (xn ). Peubah acak  x1, x2  , x3  ,…..xn dikatakan saling bebas statistik jika dan hanya jika f (x1  , x2  ….xn) = f1  (x1 ), f2  (x2), ….fn  (xn ).
Contoh.2 Misalkan x1, x2  & x, 3 peubah acak bebas statistik dan misalkanlah masing-masing mempunyai fungsi padat peluang :
(x)        =  e-x     untuk x > 0= 0        untuk x lainnya

>

Hitunglah P (x1 <2 , 1<  x2 < 3 ,  x3 > 2 )
Jawab Fungsi padat peluang gabungan x1, x2  dan  x3 adalah
  1. C.     DISTRIBUSI BERSYARAT

Definisi 3.10: Jika f(x1, x2) adalah harga dari distribusi variabel random diskrit X1 dan X2 di (x1, x2) dan h(x2) adalah harga dari distribusi marginal X2 di x2, maka fungsi     f(x1| x2) = , h(x2) ¹ 0 untuk setiap range dari X1 (untuk kasus variabel random kontinu, -¥ < x1 < ¥), disebut distribusi bersyarat dari X1 jika diketahui X2 = x2. Demikian pula fungsi W(x2| x1) = , g(x1) ¹ 0, untuk setiap range dari X­2 (untuk kasus variabel random kontinu, -¥ < x1 < ¥), disebut distribusi bersyarat dari X2 jika diketahui X1 = x1, dan g(x1) adalah harga dari distribusi marginal X1 di x1.

Contoh 3.6: Jika diketahui fungsi densitas variabel random X1 dan X2

f(x1, x2) =

maka densitas bersyat dari X2 jika X1 = x1 adalah

f(x2 | x1) =

BAB III

PENUTUP

  1. A.  SIMPULAN

Fungsi Distribusi Peluang Gabungan untuk dua peubah acak X dan Y adalah:

F(a,b) = P(X≤a,Y≤b)

= ∑ ∑ f(xi,yi), untuk data diskrit

= ∫ ∫ f(x,y) dy dx, untuk data kontinu

Sifat-sifat fungsi distribusi peluang gabungan:

1. F(-∞,-∞) = 0 , F(∞,∞) = 1

2. Fx(a) = P(X≤a) = P(X≤a, Y<∞) = F(a, ∞)

3. P(X>a, Y>b) = 1 – P(X≤a) –P(Y≤b) + P(X≤a,Y≤b)

= 1 – Fx(a) – FY(b) + F(a,b)

Distribusi marginal dari X dan Y adalahg(x)= dan h(y) = untuk kasus diskrit, dan g(x) =  dan h(y) =  untuk kasus kontinu.

  1. B.     SARAN

Distribusi Peluang sangat bermanfaat dalam kehidupan kita sehari-hari,. Oleh karena itu, kita harus memahami tentang distribusi peluang tersebut baik distribusi peluang gabungan, distribusi marginal maupun distribusi bersyarat itu sendiri dan cara penggunaan / penerapan ilmu tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

 

http://susisetiawani.blog.unej.ac.id/files/2009/04/marg.pdf

trie.staff.fkip.uns.ac.id/files/2010/02/distribusi-fungsi-vr.doc

www.fi.itb.ac.id/agoess/statistik/ADS3.ppt

trie.staff.fkip.uns.ac.id/files/2010/02/distribusi-fungsi-vr.doc

About these ads